证明类型–谓词逻辑|离散数学
原文:https://www . geesforgeks . org/type-of-proof-predict-logic-discrete-mathematics/
引言: 逻辑最基本的形式是命题逻辑。没有变量的命题是唯一被考虑的断言。因为命题中没有变量，所以要么总是真，要么总是假。 示例–
- P : 2 + 4 = 5。(总是假的)是一个命题。
- Q : y * 0 = 0。(永远真实)是一个命题。
大多数数学结论都表示为含意:P 和 Q:P Q 我们知道–
| **P** | **Q** | **P ⇒ Q** | | T | T | T | | T | F | F | | F | T | T | | F | F | T | **证明类型:** 假设我们要证明蕴涵 P q，这里有几个选项供你考虑。 **1。琐碎的证明–** 如果我们知道 Q 是真的，那么无论 P 的真值是多少，P Q 都是真的。 **示例–** 如果一个极客组织有 1000 名员工，那么 3 2 = 9。 ***解释–*** 让 geeksforgeeks 组织有 1000 名员工& Q : 3 2 = 9。 我们知道 Q 永远是真的，在真值表中可以看到，无论 P 的真值是多少，只要 Q 为真，P Q 为真。 **2。空洞的证明–** 如果 p 是其他假设的连词(例如:P = A ^ B ^ C)，并且我们知道这些假设中的一个或多个是假的，那么 p 是假的，因此 P → Q 是空洞的真，而不管 q 的真值如何。 **例–** If 5！= 100，然后是 3！= 6. **解说–** 让 P : 5！= 100，& Q : 3！= 6. 我们知道 P 总是假的，在真值表中可以看到，无论 Q 的真值是多少，只要 P 为假，P Q 就是真的。 **3。直接证明–** 假设 P，然后使用推理规则、公理、定义和逻辑等价证明 Q。 **例–** 对于所有整数 p 和 q，如果 p 和 q 都是奇数，那么 p + q 就是偶数。 让 P 表示:P 和 Q 是奇数 Q : p + q 是偶数 证明:P Q **证明–** 由于 p & q 是奇数，所以可以表示为: 假设:p = 2m + 1，q = 2n + 1，其中 m & n 也是一些整数。 那么:p + q = = (2m + 1) + (2n +1)(代换定律) = am + 2n + 2(加法的结合律和交换律) = 2(m + n + 1)(分配律) =可被 2 整除的数&因此是偶数。 **4。矛盾证明–** 我们从假设假设正确，结论不正确开始，试图找到一个矛盾。 矛盾证明是合法的，因为: (P ∧ Q)等价于 P Q 如果我们能证明(P ∧ Q)是假的，那么(P ∧ Q)就是真的，等价语句 P Q 也是真的。 **例–** 设 x 和 y 为实数。如果 5a + 25b = 156，则 a 或 b 不是整数。 **证明–** 让 P : 5a + 25b = 156 & Q : a 或 b 不是整数 Q : a 或 b 是整数 所以，我们假设 a 和 b 都是整数(Q)5(a+5b)= 156(分配律) 既然 a 和 b 是整数，这就意味着 156 可以被 5 整除。 然而，整数 156 无论如何不能被 5 整除。这个矛盾给出了结果。 暗示(P ∧ Q)是假的，因为 P 是假的 那么(P ∧ Q)是真的，等价的说法 P Q 也是真的。 5.**逆正证明–** 我们可以通过证明 Q 是 P 来间接证明 P 是 Q，假设 Q，然后利用推理规则、公理、定义和逻辑等价证明 P。 例:对于所有的整数 a 和 b，如果 a*b 是偶数，那么 a 是偶数或者 b 是偶数。 证明:我们证明下述说法的对位: 设 P : a*b 为偶数& Q : a 为偶数或 b 为偶数。那么: P : a*b 是奇数 Q : a 和 b 是奇数 假设 Q 为真，即 a 和 b 都是奇数 a = 2m + 1，b = 2n+1；其中 m 和 n 是整数。 然后: a*b= (2m + 1)(2n + 1)(通过代换) = 4mn + 2m + 2n + 1(通过结合、交换&分配律) = 2(2mn + m + n) + 1(通过分配律) 由于 a*b 是整数的两倍(As : 2mn + m + n 也是整数)加 1，所以 a*b 是奇数。 所以表示 Q P，所以 P Q **Q .证明:n 可以是奇数当且仅当 n 2 是奇数。** **解。** 为了证明这个说法，我们必须证明两个含义: 1. 如果 n 为奇数，则 n 2 为奇数 2. 如果 n 2 为奇数，则 n 为奇数 **假设–** P:n 为奇数& Q : n2 为奇数。 1\. P ⇒ Q ： 我们用直接证据来证明。 假设 n 为奇数。 那么:n = 2p+1；对于某些整数 p. 则 n2=(2p+1)2= 4p2+4p+1 = 2(2p2+2a)+1，；也就是 2*(某个整数)+ 1。 因此，我们可以说 n 2 是奇数。于是问 2.问:这里我们使用的是反正证明方式。 Q : n 2 为偶数，P : n 为偶数。 我们需要证明:P Q(P Q 表示 Q P) 假设 n 为偶数， 则 n = 2；对于某个整数 p. 那么 N2 =(2p)2= 4p2= 2(2p2，这是一个偶数，因为它可以被 2 整除。 从(1。)P Q & from(2)Q P，n 可以是奇数当且仅当 n2 是奇数。 **2。如果一个数能被 4 整除，那么它也能被 2 整除。** **解:** 使用直接证明: 假设:x 可被 4 整除 则:x = k * 4；其中 k 是某个整数(根据除法的定义) So，x = k * (2 * 2) So，x = (k * 2 )* 2(乘法的联想性质) So，x = P * 2 其中 P = k * 2；是一个整数。 因此，我们可以说 x 也可以被 2 整除。 **3。利用矛盾证明:如果 y + y = y，那么 y = 0。** **解:** 让 P : y +y = y & Q : y = 0 证明:(P ∧ Q)为假正如(P ∧ Q)为假，那么(P ∧ Q)为真，等价的语句 P Q 也同样为真。 P : y + y= y，Q : y~= 0。 (P ∧ Q)的意思是:那么 2y =y 并且作为 y ~= 0 我们可以用 y 除两边 结果得到:2 = 1，这是一个矛盾。 所以(P ∧ Q)为假，P Q 为真。版权属于：月萌API www.moonapi.com，转载请注明出处
