偏导数的应用–两个变量的最大值和最小值
偏导数可以用来求双变量函数的最大值和最小值(如果存在的话)。我们试图找到一个斜率为零的静止点，然后追踪它附近的最大值和最小值。最大值/最小值的实际应用是给定曲线的利润最大化或损失最小化。
设 f(x，y)为实值函数，设(pt，pt’)为 f(x，y)域内的内点，则
- Pt, pt' is called the local maximum point. If there is h > 0, then f(pt, pt')≥f(x, y). For all the values of x, x≠a f(pt, pt') in (pt–h, pt'+h), it is called the local of f(x, y).
- Pt, pt' If h < 0 makes f(pt, pt') ≥f(x, y), for all x in (pt–h, pt'+h), x≠a, the value of the local minimum point f(pt, pt') is called the local minimum of f(x, y)
求双变量函数最大值和最小值的算法:
- With F XX = 0 and F YY = 0 Note : F XX and F YY are respectively 】
- The obtained result will be regarded as the stationary/turning point of the curve.
- Create three new variables R, T and S.
- 使用 r=f xx、 t=f yy 找到 r、t、s 的值，s = f xy T33
If
rt-s2)|(固定 pts) > 0 (最大值/最小值)存在 8. If(rt-s 2 )| (固定pts)<0(否
示例-1 :
函数 f(x，y)= x2y 3xy+2y+x 有
- (a) No local extremum
- (b) A local minimum but no local maximum
- (c) A local maximum but no local minimum.
- (d) a local minimum and a local maximum
说明:
回答:A
r=∂2f/∂x2=2y
s=∂2f/∂x∂y=2x−3
t=∂2f/∂y2=0
因为，rt-s2≤0，(如果 rt-s 2 < 0，那么我们没有最大值或最小值，如果= 0，那么我们什么也不能说)。
当 rt s2>0 和 r < 0 时，最大值将存在。
当 rt-s2>0 和 r > 0 时，将存在最小值。
由于 rt s2永远不大于 0，所以我们没有局部极值。
示例-2 :
求函数 f(x，y)= 2x2+2xy+2y2–6x
fx(x,y) = 4x + 2y - 6=0 (1)
fy(x,y) = 2x + 4y=0 (2)
的局部最小值
在求解(1)和(2)时，我们得到，
x=2,y=-1
r=∂2f/∂x2=4
s=∂2f/∂x∂y=2
t=∂2f/∂y2=4
rt−s2=12
As rt s20 和 r > 0。因此，(2，-1)是局部极小点。
示例-3 :
求 f(x，y) = x 的最大值/最小值 2 +y 2 + 6x +12
fx(x,y) = 2x+6=0 (1)
fy(x,y) = 2y=0 (2)
在求解(1)和(2)时，我们得到，
x=-3,y=0
r=∂2f/∂x2=2
s=∂2f/∂x∂y=0
t=∂2f/∂y2=2
As rt s20 和 r > 0。因此，(-3，0)是局部极小点。
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