实数系公理

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在这篇文章中，我们将了解一些关于实分析的非常基本的思想，即实数系统结构的研究。我们将讨论被认为由实数集R满足的三个公理

这三个公理是:

  1. 领域公理
  2. 顺序公理
  3. 完备性公理

域公理:集合R 表示为域(R, +, .) ，其中+ 和. 分别是加法和乘法的二元运算。它由 4 个加法和乘法公理和一个分配律组成。

(i) 加法公理:

  • a+b = b+a \ ∀ \ a,b \ ∈ R
  • (a+b)+c = a+(b+c) \ ∀ \ a,b,c \ ∈ R
  • r 包含元素 0，因此a + 0 = a \ ∀ \ a ∈ R
  • 每个a ∈ R 对应一个元素-a ∈ R ，这样a+(-a) = 0

(二)乘法公理:

  • ab = ba \ ∀\ a,b ∈ R
  • (ab)c = a(bc) \ ∀ \ a,b,c ∈ R
  • R 包含一个元素1 ，使得 1.a = a \ ∀ \ a ∈ R 和 1 ≠ 0
  • 如果a ∈ R \ and \ a≠0 存在一个元素\frac{1}{a} ∈ R ，这样a. (\frac{1}{a} ) = 1

(三)分配规律:

  • a(b+c) = ab+ac \ ∀ \ a,b,c ∈ R

序公理:我们定义> (大于)为序关系，满足以下公理–

  • 三分法——对于a,b∈ R 来说，只有一个表达式是正确的:a>b , a=b , b>a
  • 传递性–对于a,b,c∈R \ a>b,\ b>c ⇒ a>c
  • 加法的单调性质–用于a,b,c∈R, \ a>b ⇒ a+c > b+c
  • 乘法的单调性质–用于a,b,c∈R,\ a>b, c>0 ⇒ ac > bc

我们称> 为线性序，R 为线性序场。

在定义完备性公理之前，我们先来看看有界性的概念。在这里，我们将在陈述完备性公理之前定义几个术语。

集合:任何非空子集，比如A ，在R 中被称为集合。例如，集合Z^+ 是一个集合。类似地，集合 B = {1，2，4，8}也是一个集合，因为B ⊆ R 但是，集合 A = {x，y，z}和空集合∅ 不是集合。

上限:如果∃ \ k_1\ ∈ R 是x ∈ S ⇒ x \leq k_1 ，则R 的子集S 被称为在之上。这个数字k_1 叫做S 的一个上限。比如负实数的集合R^- 是上界的，0 是上界的。同样，负整数的集合Z^- 在上界，-1 为上界。但是，正实数的集合R^+ 在上面是没有边界的。

下界:如果∃ \ k_2\ ∈ R 这样的x ∈ S ⇒ x \geq k_2 这个数k_2 叫做 s 的下界，那么R 的子集S 就称之为有界于下，比如集合R^+ 有界于下，0 就是下界。同样的，集合Z^+ 是下界，1 是上界。但是，设定R^- 并不局限于此。

最小上界:考虑一个集合S 的上界u ，任何小于u 的实数都不是S 的上界，那么我们说u 就是S.的最小上界(lub) 或者上界(sup)

最大下界:考虑一个集合S 的下界v ，任何大于v 的实数都不是S 的下界，那么我们说v 就是S.的最大下界(glb)或者下确界(inf)

例:让S = [0,1] 。对于 S，我们看到 1 是上界，任何小于 1 的数都不是 S 的上界，因此，1 是 S 的上确界。此外，0 是下界，任何大于 0 的数都不是下界，因此，0 是 S 的下确界

有界性:如果一个集合 S 既是上有界的又是下有界的，那么它就是有界的。也就是说，它必须既有上限又有下限。例如，任何有限集合都是有界的，空集合∅ 也是有界的。但是Q 和R 的集合是没有界限的。

注:一个集合不需要有一个最大成员和一个最小成员分别在上面有界或在下面有界。

现在完成了所需的定义，我们声明完备性公理(也称为最小上限公理)。

“上面有界的每个非空实数集都有一个上确界。”

集合 R 满足场公理、序公理和完备性公理。因此实数集合R 被称为完全有序域。

同样，有理数集合Q 不满足完备性公理。因此，Q 不是一个完整的字段。

完备性公理是实数系的一个非常基本和重要的性质，作为各种微积分定理、极大极小概念、中值定理等的证明。依靠实数的完备性。

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