证明奇数的平方总是奇数
本文着重详细讨论为什么奇数的平方总是奇数的证明。
奇数: 一个数如果不能被 2 整除，或者一个数可以用(2k +1)的形式表示，那么这个数就是奇数，对于某个整数 k，那么这个数就叫做奇数。
平方根 : 给定两个数字 A 和 B，如果 A * A = B，那么 A 就是 B 的平方根
问题陈述: 奇数的平方永远是奇数。
证明: 本节讨论上述问题陈述的证明——
1.考虑一个奇数，x，根据上面的定义，A 可以写成-
X = (2k + 1), for some integer k
2.现在，把两边都摆平-
X2 = (2k + 1)2 ---(1)
3.两个数之和的平方公式是-
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
4.使用等式(1)中的上述属性
X2 = (2k)2 + 4k + 1
X2 = 4k2 + 4k + 1 ---(2)
5.现在，让我们在等式 2 中做一些重新排列，如-
X2 = 2(2k2 + 2k) + 1
6.注意上面等式的右边。因为 K 是整数，(2k 2 + 2k)也是整数。现在，让我们假设一个整数，m = (2k 2 + 2k)。上面的等式可以写成-
X2 = (2m + 1), for some integer m
7.从上面的方程和一个奇整数的定义可以得出 X 2 也是一个奇整数，证明了我们关于奇整数的平方总是奇的说法。
例: 为 X = 3-
1.将 X = 3 的值逐步放入上述等式中-
X = (2k + 1), for some integer k
3 = (2k + 1), for k = 1 (integer)
2.如果取 X 的平方-
X2 = (2k + 1)2
X2 = 4K2 + 4K + 1
3.再次，做好安排后，X 2 可以写成-
X2 = 2(2k2 + 2k) + 1
for X = 3,
9 = 2(2k2 + 2k) + 1
4.对于 k = 1，(2k 2 + 2k)计算结果为 4。设 m= (2k 2 + 2k) = 4 即
9 = 2m + 1, for m = 4 (integer)
现在，从上面对奇数的定义，可以说 9 是奇数，这意味着奇数的平方(这里是 3)总是奇数。因此，证明。
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