等分法与雷古拉法的区别
原文:https://www . geesforgeks . org/divisioning-method-and-regula-falsi-method/
等分法用于求 f(x) = 0 形式的非线性方程的方程根，是基于中间值性质的重复应用。设 f(x)是闭区间[x1，x2]中的连续函数，如果 f(x1)，f(x2)符号相反，那么区间(x1，x2)中至少有一个根α，这样 f(α) = 0。
公式
X2= (X0 + X1) / 2
例
问题:求一个方程 f(x)=x3-x-1 的根
解决方案:
给定方程 f(x)=x3-x-1
让 x = 0，1，2
在第一次迭代中:
f(1)=-1 <0 and f(2)=5> 0
根位于这两点 1 和 2 之间
x0=1+2/2 = 1.5
f(x0)=f(1.5)=0.875>0
第二次迭代:
f(1)=-1 <0 and f(1.5)=0.875> 0
根位于这两点 1 和 1.5 之间
x1=1+1.5/2 =1.25
f(x1)=f(1.25)=-0.29688<0
在中第三次迭代:
f(1.25)=-0.29688 <0 and f(1.5)=0.875> 0
根位于这两点 1.25 和 1.5 之间
x2=1.25+1.5/2 = 1.375
f(x2)=f(1.375)=0.22461>0
第 4 次迭代:
f(1.25)=-0.29688 <0 and f(1.375)=0.22461> 0
根位于这两点 1.25 和 1.375 之间
x3=1.25+1.375/2=1.3125
f(x3)=f(1.3125)=-0.05151<0
在中第 5 次迭代:
f(1.3125)=-0.05151 <0 and f(1.375)=0.22461> 0
根位于这两点 1.3125 和 1.375 之间
x4=1.3125+1.375/2=1.34375
f(x4)=f(1.34375)=0.08261>0
在T2【第六次迭代:
f(1.3125)=-0.05151 <0 and f(1.34375)=0.08261> 0
根位于这两点 1.3125 和 1.34375 之间
x5=1.3125+1.34375/2=1.32812
f(x5)=f(1.32812)=0.01458>0
第 7 次迭代:
f(1.3125)=-0.05151 <0 and f(1.32812)=0.01458> 0
根位于这两点 1.3125 和 1.32812 之间
x6=1.3125+1.32812/2 =1.32031
f(x6)=f(1.32031)=-0.01871<0
在中第 8 次迭代:
f(1.32031)=-0.01871 <0 and f(1.32812)=0.01458> 0
根位于这两点 1.32031 和 1.32812 之间
x7=1.32031+1.32812/2=1.32422
f(x7)=f(1.32422)=-0.00213<0
在中第 9 次迭代:
f(1.32422)=-0.00213 <0 and f(1.32812)=0.01458> 0
根位于这两点 1.32422 和 1.32812 之间
x8=1.32422+1.32812/2=1.32617
f(x8)=f(1.32617)=0.00621>0
第 10 次迭代:
f(1.32422)=-0.00213 <0 and f(1.32617)=0.00621> 0
根位于这两点 1.32422 和 1.32617 之间
x9=1.32422+1.32617/2=1.3252
f(x9)=f(1.3252)=0.00204>0
在T2【第 11 次迭代:
f(1.32422)=-0.00213 <0 and f(1.3252)=0.00204> 0
根位于这两点 1.32422 和 1.3252 之间
x10=1.32422+1.3252/2=1.32471
f(x10)=f(1.32471)=-0.00005<0
使用 等分法得到的方程 x3-x-1=0 的近似根为 1.32471
雷古拉法尔西方法:
Regula Falsi 是寻找方程 f(x) = 0 的实根最古老的方法之一，与二等分法非常相似。它需要更少的计算工作量，因为我们每次迭代只需要评估一个函数。
公式
X3 = X1(fX2) - X2(fX1)/ f(X2) -f(X1)
例
问题:求一个方程 f(x)=x3-x-1 的根
解决方案:
给定方程， x3-x-1=0
让 x = 0，1，2
在第一次迭代中:
f(1)=-1 <0 and f(2)=5> 0
根位于这两点 x0=1 和 x1=2 之间
x2=x0-f(x0)
= x1-x0
f(x1)-f(x0)
x2 = 1---
= 2-1
= 5-(-1)
x2=1.16667
f(x2)=f(1.16667)=-0.5787<0
第二次迭代:
f(1.16667)=-0.5787 <0 and f(2)=5> 0
根位于这两点之间 x0=1.16667 和 x1=2
x3=x0-f(x0)
x1-x0
f(x1)-f(x0)
x3=1.16667-(-0.5787)
2-1.16667
5-(-0.5787)
x3=1.25311
f(x3)=f(1.25311)=-0.28536<0
第三次迭代:
f(1.25311)=-0.28536 <0 and f(2)=5> 0
根位于这两点之间 x0=1.25311 和 x1=2
x4 = 0x 0-f(0x 0)≥ _
x1-x0
f(x1)-f(x0)
x4 = 1.25311-(-0.28536)*
2-1.25311
5-(-0.28536)
x4=1.29344
f(x4)=f(1.29344)=-0.12954<0
第 4 次迭代:
f(1.29344)=-0.12954 <0 and f(2)=5> 0
根位于这两点之间 x0=1.29344 和 x1=2
X5 = 0x 0-f(0x 0)ⅲ
x1-x0
f(x1)-f(x0)
X5 = 1.29344--0.12954)*
2-1.29344
5-(-0.12954)
x5=1.31128
f(x5)=f(1.31128)=-0.05659<0
第 5 次迭代:
f(1.31128)=-0.05659 <0 and f(2)=5> 0
根位于这两点之间 x0=1.31128 和 x1=2
X6 = 0x 0-f(0x 0)√0
x1-x0
f(x1)-f(x0)
x 6 = 1.3128--0.05659)*
2-1.31128
5-(-0.05659)
x6=1.31899
f(x6)=f(1.31899)=-0.0243<0
第 6 次迭代:
f(1.31899)=-0.0243 <0 and f(2)=5> 0
根位于这两点之间 x0=1.31899 和 x1=2
x7 = 0x 0-f(0x 0)≥_∞无滤波器的模块订货号 6sl 322;无滤波器的模块订货号 6sl 322;无滤波器的模块订货号 6sl 322;无滤波器的模块订货号 6sl 3224-
x1-x0
f(x1)-f(x0)
S7 = 1.31899--0.0234)*
2-1.31899
5-(-0.0243)
x7=1.32228
f(x7)=f(1.32228)=-0.01036<0
第 7 次迭代:
f(1.32228)=-0.01036 <0 and f(2)=5> 0
根位于这两点之间 x0=1.32228 和 x1=2
x8 = 0x 0-f(0x 0)ⅲ
x1-x0
f(x1)-f(x0)
x8 = 1.3228-(-0.01036)*
2-1.32228
5-(-0.01036)
x8=1.32368
使用 Regula Falsi 方法得到的方程 x3-x-1=0 的近似根为 1.32368
等分法和正则假法的区别
| 基础 | 等分法 | 雷古拉法 | | --- | --- | --- | | 定义 | 在数学中，二等分法是一种求根方法，适用于已知两个符号相反的值的连续函数。 | 在数学中，虚位置法是求解一元方程的一种非常古老的方法，这种方法是修正形式至今仍在使用。 | | 简单 | 它使用简单，易于实现。 | 与二等分法相比，使用简单 | | 计算努力 | 与雷古拉·法尔西方法相比更少 | 与二等分法相比更多 | | 需要迭代 | 在二分法中，如果其中一个初始猜测更接近根，则需要大量迭代才能到达根。 | 与二等分法相比更少。这种方法可能不如等分法精确——没有严格的精度保证。 | | 趋同；聚集 | 二等分法的收敛速度慢且线性。 | 这种方法比二等分法收敛速度快。 | | 通用迭代公式 | **公式为:** X3 =( X1 + X2)/2 | **公式为:**X3 = X1(fx2)–x2(fx1)/f(x2)-f(X1) | | 其他名称 | 也称为**波尔扎诺法**、二进制斩波法、半区间法。 | 也称为**假位置法。** |版权属于：月萌API www.moonapi.com，转载请注明出处
