皮亚诺公理|数字系统|离散数学
引言: 自然数的集合在下面被公理化地定义。意大利数学家 g .阿砣和德国数学家 J. W. R .戴德金德被认为是这些公理的发明者。这些公理的目的是证明一个自然数的存在，然后定义一个函数来创建剩余的自然数，称为后继函数。
皮亚诺公理: 进一步推理和论证的前提或起点是公理、公设或假设，即被假定为真的陈述。阿砣提出的公理是–
- P1。0∈N；0 是自然数– 在不同版本的皮亚诺公理中，公理 5 实际上将 0 替换为 1。这产生了一组几乎相同的自然数，称为“正整数”。上下文决定了数学家在自然数中是否包括 0。我们遵循包含 0 作为自然数的标准惯例。 此时只保证单个自然数 0 的存在。后继函数用于下一个公理来构造其他自然数。后继函数是一个带有域 N 的函数 S，顾名思义。根据下一个公理，S 的共域也是 N。 接下来的三个公理描述了平等关系。
- ∀x∈n x = x； 反身平等。第四个公理被称为等式公理的闭包，它指出如果“任何东西”都等于自然数，那么“任何东西”也一定是自然数。
- ∀ x，y∈n；如果 x = y y = x； 对称相等。如果一个自然数等于另一个，那么第二个数应该等于第一个数。这就是所谓的对称公理。
- ∀ x，y，z∈n；如果 x = y&y = z x = z； 传递平等。下一个属性指出，如果一个自然数等于第二个，第二个自然数等于第三个，那么第一个和第三个是相等的。传递性公理就是它的名字。
- ∀甲、乙；如果 a ∈ N 且 a = b b 也是自然数。
- P2。如果 x∈NS(x)∈N . 在阿砣的初始公理中，用 1 代替 0 作为“第一个”自然数。 皮亚诺公理的最新表述以 0 开始。这是因为 0 是算术中的加法恒等式。 x 的继承者也是自然数，如果 x 是自然数。 S(x)将被称为 x 的继承者，正如公理所表明的那样。 直观上，S(x)应该解释为 x+1 。 我们离现在所知道的自然数还有很长的路要走。公理 1 和 6 定义了自然数的一元表示: S(0)= 0+1 = 1 S(S(0))= S(1)= 1+1 = 2。 这个表示的属性由接下来的两条公理定义。
- 如果 N∈N；s(n)0。 如果 n ∈ N，那么 N 的后继者不能是 0。
- ∀ a，b∈n；如果 S(a)= S(b)a = b . S 是一个注入(一一映射，即每个数的后继都是唯一的) 前面的公理有一些重要的含义。从公理 1 来看，它排除了将 N 简单地定义为 0 和 1 的选项。 为了理解为什么，考虑 S(0) = 1 已经存在，并且由于注入映射，S(1) = 1 是不可能的。 公理 6 排除了 S(1) = 0 的可能性。因此，S(1)必然是另一个自然数，我们称之为 2。 因此:2 = S(1)。 根据类似的推理，S(2)不能是 0、1 或 2。 因此，它一定是一个不同的自然数，我们称之为 3。按照这种模式，我们可以推断出 N 必须包含我们知道的所有自然数。在这一点上，我们知道 N 必须包含 0，并且它的后继 1 = S(0)，它的后继 2 = S(1)，以此类推。因此，每个数字都有一个唯一的继任者。 所以，如果我们说这 2 个后继者是相同的，那么就意味着它们是相同数量的后继者。
- 如果 V 是感应集；即:0 ∈ V 和每一个自然数 n ∈ V，然后 s(n)∈v n⊂v 如前所述，前八个公理保证{ 0，1，2，3，… } ∈ N .我们知道集合{ 0，1，2，3，… }是归纳集合。作为公理 9 的结果，N ⊂ { 0，1，2，3，…}必须为真。结果，我们得到了我们正在寻找的集合等式:N = { 0，1，2，3，…}
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