数学中的 Surd 和 index

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Surds : 让 x 是一个有理数(即可以用 p/q 形式表示，其中 q ≠ 0)，n 是任意正整数，这样 x 1/n = n √x 是无理数(即不能用 p/q 形式表示，其中 q ≠ 0)，那么 n √x 就称为 n 阶 surd。

示例–

√2, √29, etc.

√2 = 1.414213562…，不终止不重复，因此√2 为无理数。√2= 2 1/2 ，其中 n=2，因此√2 是一个 surd。简单来说，surd 是一个幂为违规且不能完全求解的数(即我们得不到有理数)。

指数:

  • 它也被称为幂或指数。
  • X p ，其中 x 是基数，p 是 x 的幂(或指数)，其中 p，x 可以是任意小数。

例– 设一个数 2 3 = 2×2×2= 8，那么 2 为基数，3 为指数。

  • 一个数的指数代表一个数自身相乘的次数。
  • 它们用来表示根、分数。

surd 的规则: 当一个 surd 乘以一个有理数，那么它被称为混合 surd。

例– 2√2，其中 2 为有理数，√2 为 surd。这里规则中使用的 x，y 是十进制数，如下所示。

| 没有。 | 外科规则 | 例子 | | --- | --- | --- | | 1. | nx = x1/n | √2 = 2 1/2 | | 2. | n【x×y】=n【x×nx | √（2×3）= √2 × √3 | | 3. | n【x】y =nxny | 3(5 或 3)=333 | | 4. | (n【x】n= x | (√2) 2 = 2 | | 5. | (n【x】【m】=【n】【x【m】) | (3【27】=【27】= 9 | | 6. | mn【x】=m×nx | 23【729】=2×3【729】6729 = 3 | **指数规则:** | 没有。 | 指数规则 | 例子 | | --- | --- | --- | | 1. | x 0 = 1 | 2 0 = 1 | | Two | xm×xn= xm+n | 22×23= 25= 32 | | three | xmxn= xm-n | 2322= 23-2= 2 | | four | (xm)n= xm×n | (23)2= 23×2= 64 | | five | (x×y)n= xn×yn | (2×3)2= 22×32= 36 | | six | (x÷y)n= xnyn | (4÷2)2= 42÷22= 4 | **其他规则:** 其他一些规则用于解决 surds 和 indices 问题，如下所示。 
// From 1 to 6 rules covered in table.
7) x <sup>m</sup> = x <sup>n</sup> then m=n and a≠ 0,1,-1.
8) x <sup>m</sup> = y <sup>m</sup> then 
 x = y if m is even 
 x= y, if m is odd
**基于 surds 和指数的基本问题:** **问题-1** : 以下哪个是 surd？ 
a)  2√36              b)  5√32      c)  6√729          d) 3√25
**解–** 一个答案是一个选项(d) 
Explanation -
3√25= (25)1/3 = 2.92401773821... which is irrational So it is surd.
**问题-2 :** 求√√√3 
a)  31/3  b) 31/4   c)   31/6   d)  31/8
**解决方案–** 答案是选项(d) 
Explanation -
((3 1/2)1/2) 1/2)  = 31/2 × 1/2 ×1/2 = 3 1/8 according to rule number 5 in indices.
**问题-3 :** 如果(4/5)3(4/5)-6=(4/5)2x-1，则 x 的值为 
a) -2          b)2         c) -1          d)1
**解决方案–** 答案是选项(c) 
Explanation - 
LHS = (4/5)3 (4/5)-6= (4/5)3-6 = (4/5)-3  
RHS = (4/5)2x-1
According to question LHS = RHS 
⇒ (4/5)-3 = (4/5)2x-1
⇒ 2x-1 = -3
⇒ 2x = -2
⇒  x = -1
**问题-4 :** 
34x+1 = 1/27, then x is
**解决方案–** 
34x+1 = (1/3)3
⇒34x+1 = 3-3
⇒4x+1 = -3
⇒4x= -4  
⇒x = -1
**问题-5 :** 在 2 1/12、 3 1/72 、4 1/24 、6 1/36 中找出最小的。 **解–** 答案是 3 1/72 **解释–** 由于所有数字的指数都是违规的，因此将每个指数乘以所有指数的 LCM。所有数字的 LCM 都是 72。 
2(1/12 × 72) = 26 = 64
3(1/72 ×72) = 3
4(1/24 ×72) = 43 = 64
6 (1/36 ×72) = 62 = 36
**问题-6:**T2】2400、330052006200中最大。 
a) 2400   b)3300    c)5200      d)6200
**解决方案–** 答案是选项(d) **解释–** 由于每个数的幂都很大，比较起来非常困难，所以我们将每个指数除以一个公因数(即取每个指数的 HCF)。 
The HCF of all exponents is 100.
2400/100 = 24 = 8.
3300/100 = 33 = 27  
5200/100 = 52 = 25
6200/100= 62 =  36
So 6200 is largest among all.

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