数学|环同态

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先决条件:T2 戒指

环同态: 对集合R 进行任意两次二元运算的集合R 由+ 和* 表示的 let 称为表示为(R, +, *) 的环，如果(R, +) 是阿贝尔群，(R, *) 是半群，它们也遵循左右分配律。

对于两个环(R,+,*) 和(S,⨁, 【Tex】\次[/Tex] ) 来说，映射f : R → S 被称为环同态，如果

  1. f (a + b) = f (a) ⨁ f (b) 、∀a、b∑R 。
  2. f(a * b) = f(a) \times f(b) 、∀a、b∑R 。
  3. f 【Tex】([/Tex]IR) = IS，如果 I R 和 I S 分别是集R 于* 和集S 于\times 操作的身份(如果存在的话)。

注:环 (S,⨁, \times ) 称为环 (R,+,*) 的同形像。

示例:

  1. 函数 f(x) = x mod(n)从组(Z ，+，)到(Z n ，+，)∀x∑Z, Z 是一组整数。+和*分别是简单的加法和乘法运算。
  2. 对于任意两个群(r，+，*)和(S,⨁，\times ) ∀x ∈ R，函数 f(x) = x，称为同态环同态。
  3. 对于∀x ∈ N，函数 f(x) = 0。
  4. 函数 f(x) =它本身是复共轭形式群(C，+，)，这里 C 是复数的集合。+和分别是简单的加法和乘法运算。

注: 如果 f 是来自(r，+，)和(S,⨁， \times 的同态，那么 f(O R ) = f(O S )，其中 O R 和 O S 分别是集合 R over +和集合 S over ⨁运算的恒等式。*

注: 如果 f 是来自(r，+，)和(S,⨁， \times )的环同态，那么 f : (R，+) → (S,⨁)就是群同态。*

环同构: 从环R 到环S 的一一并到同态称为环同构，R 和S 是同构的。

环自同构: 从环到自身的同态称为环自同构。

场同态: 对于两个场(F,+,*) 和(K,⨁, \times) 一个映射f : F → K 被称为场同态，如果

  1. f(a + b) = f(a) ⨁ f(b) 、∀a、b∑F 。
  2. f(a * b) = f(a) \times f(b) 、∀a、b∑F 。
  3. f( I F ) = I K ，其中 I F 和 I K 分别是设置F 于* 和设置K 于\times 操作的身份。
  4. f( O F ) = O K ，其中 O F 和 O K 分别是设置F 于+ 和设置K 于⨁ 操作的标识。

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