证明有限群的元素是有限的
原文:https://www . geesforgeks . org/proof-elements-of-a-limited-group-is-limited/
证明 : 有限群的每个元素的阶都是有限的，并且小于或等于群的阶。
证明 : 假设 G 是一个有限群，其组成是乘法表示的。假设 a ∈ G，考虑 a 的所有正整数幂，即 a，a 2 ，a 3 ，…… 所有这些都是 G 的元素，通过闭包公理。 由于 G 的元素数量有限，因此 a 的所有这些积分幂都不能是 G 的不同元素
假设，
ar = as where r > s
现在
ar = as
=> ar . a-s = as . a-s (multiplying both sides by a-s )
=> ar . a-s = a0 ( as-s = a0)
=> ar . a-s = e
=> am = e, where m = r - s
因为
r > s
因此，“m”是正整数。因此，存在正整数 m，使得 a m = e。
现在我们知道每组正整数都有最少的成员。 因此，所有那些正整数 m 的集合使得 a m = e 具有最少的成员，比如 n。因此，存在最少的正整数 n，使得
an = e.
因此，a，o(a)的阶是有限的。 现在来证明 o(a) ≤ o(G)。
假设，
o(a) = n, where n > o(G).
既然 a ∈ G，那么由闭包属性 a，a 2 ，…。a n 是 g 的元素，没有两个是相等的。如果可能的话，让 a r = a s ，1 ≤ s < r ≤ n .然后，
ar-s = e
因为
0 < r - s < n
因此，
ar-s = e implies that the order of a is less than n.
这是一个矛盾。因此，a，a 2 ，… a n 是 G 的 n 个不同元素。由于 n > o(G)，因此这是不可能的。 因此，我们必须有 o(a) ≤ o(G)。
因此，证明了有限群(G)的每个元素(a，o(a))的阶都是有限的，且小于或等于群的阶(即 o(a) ≤ o(g))。
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