principal 理想域(p . I . d)|离散数学

原文:https://www . geesforgeks . org/prinicipal-理想-领域-p-I-d-离散-数学/

先决条件:离散数学中的 T2 环

简介: 代数结构:配有 1 个或 1 个以上二进制运算的非空集合 G 称为代数结构。 示例–

  • (N，+)其中 N 是一组自然数，并且
  • (R，) R 是一组实数。 这里的“”指定一个乘法运算。

RING : 需要一个同时对两个二元运算进行集合处理的代数结构来形成一个 RING。非空集合 R 与乘法运算&相加(通常)一起被称为环，如果:

1\. (R,+) is an Abelian Group (satisfies G1, G2, G3, G4 & G5)
2\. (R, *) is a Semi Group. (satisfies G1 & G2)
3\. Multiplication is distributive over addition :
     (a) Left Distributive :  a*(b+c) = (a*b) + (a*c) ; ∀ a, b, c ∈ R
     (b) Right Distributive : (b+c)*a = (b*a) + (c*a) ; ∀ a, b, c ∈ R
  1. GROUP– 一种代数结构(G，o ),其中 G 是非空集合&‘o’是在 G 上定义的二进制运算，如果二进制运算“o”满足以下性质，则称之为 GROUP: G1。闭包:a ∈ G，b∈G =>AOB∈G；∀ a，b ∈ G G2。结合性:(AOB)oc = ao(BOC)；∀ a、b、c ∈ G. G3。同一性元素:存在于 G 中，使得 AOE = eoa = a；∀ a ∈ G(例如–例如，标识为 0) G4。逆的存在性:对于每个元素 a∈G；存在逆(a-1)∈ G，使得:AOA-1 = a-10a = e
  2. 阿贝尔群– 一个代数结构(g，o ),其中 g 是一个非空集合&‘o’是在 g 上定义的二元运算，如果它是一个群(即它满足 G1，G2，G3 & G4)并且另外满足: G5:交换式:aob = boa ∀ a，b ∈ G
  3. 半群– 一个代数结构(G，o)其中 G 是一个非空集合&‘o’是在 G 上定义的二元运算如果它只满足 2 个性质:G1(闭包)& G2(结合性)，则称之为半群。 我们通常把环结构写成:(R，+，*)或者简称 R. 注:加性恒等式 0 是唯一的&称为环 R 的零元素
  4. 交换环– (R，+，)是可交换的:表示乘法()是可交换的。

积分域: 一个环(R，+，*)叫做积分域:

1\. (R,+,*)  is commutative.
2\. (R,+,*) is a ring with unit element.
3\. It is a ring without zero divisors.
  1. (R，+，*)是可交换的– 表示乘法(*)是可交换的。
  2. (R，+，*)是具有单位元素的环– 它意味着存在一个单位元素，比如说 1∈ R，这样: a1 = 1a = a ∀ a ∈ R
  3. R 是没有零因子的环– a * b = 0 =>a = 0 OR b = 0 其中 a，b ∈ R

主理想: Let (R，+，*)是一个恒等式为 1 的交换环。 设 a ∈R，则集合= { ra : r ∈ R 是理想}称为 a 生成的主理想。

主理想域(P.I.D.) : 环(R，+，*)被称为主理想域，如果:

  • r 是一个整域。
  • R 中的每个理想都是主要的。

如果环的每一个单侧理想都是理想的，则称它为主理想环。主理想域是没有零因子的主环。 注:整体闭域⊂整体域⊂交换环⊂环

Q .说明每一个 场 都是一个 P.I.D. 解。让 F 是一个场。因此，F 也是一个整域。同样，f 会有一些单位元素:a1 = 1a = a ∀ a ∈ F，所以，f 是一个单位积分域。 每个领域只有 2 个理想。所以 F 有 2 个理想:{0} & F 其中– (I){ 0 } = 0 * F (ii)F = 1 * F 所以，F 只有 2 个理想&它们可以用以下形式表示:{ f*a : f ∈ R 是理想 a ∈ F } 所以，每个 F 都是 P.I.D. 注:反过来可能不成立。

Q .表明整数环 Z 是一个 P.I.D. 答案。我们知道整数集 Z 是一个整定义域。 让 J 成为 z 中的理想，我们展示 J 是一个主理想。 案例一。–如果 J = {0}，则它是主要的理想&因此结果。 案例二。–如果 J ≠ {0}，让 0 ≠ x ∈ J，那么-x = (-1) x ∈ J 为某个正 x。 因此，J 至少包含一个正整数。设 a 为 J 中最小正整数 我们主张，J = { ra : r ∈Z } 对于 x ∈ J，使用除法算法， x = QA+r；0≤r≤a；q ∈ Z 但是 J 是理想 a ∈ J，q ∈ Z 因此，qa ∈ J 和 x–QA∈J r∈J 但是，a 是 J 中满足 0 ≤ r ≤ a 的最小正整数，因此，我们必须有 r = 0。 所以，x = qa，即 J = { qa : q ∈ Z} 因此 Z 是 P.I.D。

Q .证明:一个 PID 是唯一的因式分解域。 证明:非零理想集合中的反向包含关系在经典逻辑中是有根据的。 让 A 表示理想(A)的子集，它是有限个(可能为零)最大主理想的乘积。如果正确包含(x)的每一个(t)都可以分解为每个有效理想(x)(0)的最大值，那么(x)也可以。(要么(x)是最大/不可约的，要么它的因子是(s)(t)，其中 s 和 t 都是非单位；根据假设，(s)和(t)因素最大化，(x)也是如此。因此，因为 A 是一个归纳集，它包含了每个理想(x)(0)，即 x 可以被分解为不可约的。

对于因式分解的唯一性，我们首先注意到，如果 p 是不可约的，p|ab，那么 p|a 或 p|b(因为 R/(p)是一个域，因此更是一个整域，如果 ab≡0modp 为真，那么 a≡0modp 或 b≡0modp 也为真。).p1 除其中一个不可约如果 q i ，p1p2…pm= q1q2…qn是同一个元素的两个因式分解成不可约，那么，在这种情况下(p 1 )=(q i )且各为另一个的单位倍

版权属于：月萌API www.moonapi.com，转载请注明出处

本文链接：https://www.moonapi.com/news/29793.html