二项式定理的推论

原文:https://www.geeksforgeeks.org/corollaries-binomial-theorem/

表达式(a+b)^n表示(a+b)(a+b)(a+b) ... n次。 这可以被评估为涉及 k = 0 到 n 的a^k b^{n-k}项的总和，其中第一项可以从 n 个位置中选择，第二项可以从(n-1)个位置中选择，k^{th}项可以从(n-(k-1)个位置中选择，等等。这表示为(a+b)^n = \sum\limits_{k=0}^n ^nC_k a^{n-k} b^k。 使用组合符号的二项式展开是

(a+b)^n = ^nC_0 a^n b^0 + ^nC_1 a^{n-1} b^1 + ^nC_2 a^{n-2} b^2 .. + ^nC_{n-k} a^k b^{n-k} .. +^nC_n a^0 b^n

  • 上述二项式展开式中各项a^k b^{n-k}的度数为 n 阶
  • 展开式中的项数是 n+1。
  • ^nC_k = n!/k!(n-k)! 同理^nC_{n-k} = n!/(n-k)!(n-(n-k))! = n!/(n-k)!k! 由此可以得出^nC_k = ^nC_{n-k}。

在二项式展开式中代入 a = 1，b = x，对于任意正整数 n，我们得到 (1+x)^n = ^nC_0 + ^nC_1 x^1 + ^nC_2 x^2 ..+ ^nC_n x^n。

推论 1:

\sum\limits_{k=0}^n ^nC_k = 2^n

对于任何非负整数 n。

将上述二项式展开式中的 x 替换为 1，我们得到 ^nC_0 + ^nC_1 + ^nC_2 .. + ^nC_n = (1+1)^n = 2^n。

推论 2:

\sum\limits_{k=0}^n ^nC_k = 0

对于任何正整数 n。

用-1 代替上述二项式展开式中的 x，我们得到 ^nC_0 + ^nC_1 (-1) + ^nC_2 (-1)^2 .. + ^nC_n (-1)^n = (1+(-1))^n = 0。

推论 3:

将上述二项式展开式中的 x 替换为 2，得到 ^nC_0 + ^nC_1 2 + ^nC_2 2^2 .. + ^nC_n 2^n = (1+2)^n = 3^n

总的来说，可以说

\sum\limits_{k=0}^n (2^k) ^nC_k = 3^n

此外，可以将推论 1 和推论 2 结合起来得到另一个结果，

^nC_0 + ^nC_1 (-1) + ^nC_2 (-1)^2 .. + ^nC_n (-1)^n = (1+(-1))^n = 0

^nC_0 + ^nC_2 + .. = ^nC_1 + ^nC_3 + ... 偶数项系数之和=奇数项系数之和。

从\sum\limits_{k=0}^n ^nC_k = 2^n开始，

2( ^nC_0 + ^nC_2 + ..) = 2^n

^nC_0 + ^nC_2 + .. = 2^{n-1}

^nC_0 + ^nC_2 + .. = ^nC_1 + ^nC_3 + .. = 2^{n-1}

计数 展开(a+b)^n中的项的系数对应于第 n 行帕斯卡三角形的项

| (a+b)^0 | one | one | | (a+b)^1 | a+b | 1 \ 1 | | (a+b)^2 | a^2+2ab+b^2 | 1 \ 2 \ 1 | | (a+b)^3 | a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 | 1 \ 3 \ 3 \ 1 |

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