实现 Karatsuba 乘法算法的 Java 程序
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它是小学乘法算法的替代品。更大的数字。阿纳托利·阿列克谢耶维奇·卡拉瑟巴于 1960 年开发的卡拉瑟巴算法，用于使用分治法的快速乘法算法。首先击中头部的是它是什么，为什么设计它。虽然有 3 种方法可以相乘:
- 小学三年级算法法(标准方法)
- 递归算法方法
- 卡拉津巴乘法
为什么是 Karatsuba 算法？
设计算法的目标是因为设计空间出奇的丰富。它的时间复杂性如下，不要这样做，因为时间复杂性非常重要，有时会在面试问题中被问到。
O(n^log2(3))时间(~ O(n^1.585))
其中 n 是数字相乘的位数。讨论用两个大整数相乘来逐步显示内部工作。目标是降低空间复杂度，整数项将以这样一种方式分解，即 x 和 y 被分解成一组数字，因为其背后的逻辑是分治。如果数字较小，则不需要相乘，两个整数的标准分割是优选的。
为了便于理解，算法被标准化为 4 位数。一个人可以将任意多的数字相乘。
算法步骤:
- 计算起始集(a*c)
- 开始集之后的计算集可能是结束集(b*d)
- 用结束集计算开始集
- 从步骤 1 减去步骤 2 的步骤 3 的值
- 在步骤 1 获得的数字上加 4 个零，步骤 2 的值不变，在步骤 4 获得的值上加 2 个零。
现在，让我们提出上面的步骤，并在进入实现部分之前用一个示例展示它
插图:
Input: x = 1234, y = 5678
Processing: As per above inputs
x = 1234
y = 5678
a = 12, b = 34
c = 56, d = 78
Step 1: a * c = 172
Step 2: b * d = 2652
Step 3: (a+b)(c+d) = 134 * 36 = 6164
Step 4: 6164 - 2652 - 172 = 2840
Step 5: 1720000 + 2652 + 284000 = 7006652
Output: 7006652
从步骤 5 得到的值实际上是如果在这两个数字“x”和“y”之间进行标准学校乘法运算得到的乘积。
1720000 + 2652 + 284000 = 7006652
实现 : 注意不要掌握为该算法制定的公式，而是以这种方式理解它会让它变得更好。
Java 语言(一种计算机语言，尤用于创建网站)
/// Java Program to Implement Karatsuba Algorithm
// Importing Random class from java.util packahge
import java.util.Random;
// MAin class
class GFG {
// Main driver method
public static long mult(long x, long y) {
// Checking only if input is within range
if (x < 10 && y < 10) {
// Multiplying the inputs entered
return x * y;
}
// Declaring variables in order to
// Find length of both integer
// numbers x and y
int noOneLength = numLength(x);
int noTwoLength = numLength(y);
// Finding maximum length from both numbers
// using math library max function
int maxNumLength
= Math.max(noOneLength, noTwoLength);
// Rounding up the divided Max length
Integer halfMaxNumLength
= (maxNumLength / 2) + (maxNumLength % 2);
// Multiplier
long maxNumLengthTen
= (long)Math.pow(10, halfMaxNumLength);
// Compute the expressions
long a = x / maxNumLengthTen;
long b = x % maxNumLengthTen;
long c = y / maxNumLengthTen;
long d = y % maxNumLengthTen;
// Compute all mutilpying variables
// needed to get the multiplication
long z0 = mult(a, c);
long z1 = mult(a + b, c + d);
long z2 = mult(b, d);
long ans = (z0 * (long)Math.pow(10, halfMaxNumLength * 2) +
((z1 - z0 - z2) * (long)Math.pow(10, halfMaxNumLength) + z2));
return ans;
}
// Method 1
// To calculate length of the number
public static int numLength(long n)
{
int noLen = 0;
while (n > 0) {
noLen++;
n /= 10;
}
// Returning length of number n
return noLen;
}
// Method 2
// Main driver function
public static void main(String[] args)
{
// Showcasing karatsuba multiplication
// Case 1: Big integer lengths
long expectedProduct = 1234 * 5678;
long actualProduct = mult(1234, 5678);
// Printing the expected and corresponding actual product
System.out.println("Expected 1 : " + expectedProduct);
System.out.println("Actual 1 : " + actualProduct + "\n\n");
assert(expectedProduct == actualProduct);
expectedProduct = 102 * 313;
actualProduct = mult(102, 313);
System.out.println("Expected 2 : " + expectedProduct);
System.out.println("Actual 2 : " + actualProduct + "\n\n");
assert(expectedProduct == actualProduct);
expectedProduct = 1345 * 63456;
actualProduct = mult(1345, 63456);
System.out.println("Expected 3 : " + expectedProduct);
System.out.println("Actual 3 : " + actualProduct + "\n\n");
assert(expectedProduct == actualProduct);
Integer x = null;
Integer y = null;
Integer MAX_VALUE = 10000;
// Boe creating an object of random class
// inside main() method
Random r = new Random();
for (int i = 0; i < MAX_VALUE; i++) {
x = (int) r.nextInt(MAX_VALUE);
y = (int) r.nextInt(MAX_VALUE);
expectedProduct = x * y;
if (i == 9999) {
// Prove assertions catch the bad stuff.
expectedProduct = 1;
}
actualProduct = mult(x, y);
// Again printing the expected and
// corresponding actual product
System.out.println("Expected: " + expectedProduct);
System.out.println("Actual: " + actualProduct + "\n\n");
assert(expectedProduct == actualProduct);
}
}
}
Output
Product 1 : 85348320
Product 2 : 21726
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