轨道计数定理或伯恩赛德引理

原文:https://www . geesforgeks . org/轨道-计数-定理-or-burnsides-lemma/

伯恩赛德引理有时也被称为轨道计数定理。是群论的成果之一。它用于计算对称的不同物体。它基本上给了我们公式来计算组合的总数，其中两个相对于旋转或反射彼此对称的物体被计算为单个代表。

因此，伯恩赛德引理指出，不同物体的总数是:\sum_{k=1}^{N} \frac{c(k)}{N} ，其中:

  • c(k) 是应用 Kth 旋转时保持不变的组合数，并且
  • N 是改变 N 个元素位置的方式总数。

例如: 让我们考虑一下我们有一条 N 宝石的项链，我们可以用 M 颜色给它上色。如果两条项链在旋转后相似，则这两条项链被认为是相似的，并被视为一个不同的组合。现在让我们假设我们有 N = 4 石头和 M = 3 颜色，那么

因为我们有 N 块石头，因此，通过旋转，每条项链有 N 种可能的变化:

观察:有 N 种方法可以改变项链的位置，因为我们可以通过 0 到N–1的时间来旋转它。

  1. 给项链上色有M^{N} 种方法。如果转数为 0，则所有M^{N} 方式保持不变。
  2. 如果旋转的次数是 1，那么在所有的M^{N} 方式中，只有 M 项链是不同的。
  3. 一般来说，如果转数为 K ，M^{gcd(K, N)} 项链在所有M^{N} 方式中保持不变。

因此，对于用 M 颜色着色后的 N 宝石的不同项链的总数，是每次旋转时所有不同项链的总和。由 Total Distinct Ways = \sum_{i=0}^{N-1} \frac{M^{gcd(i, N))}}{N} 给出

下面是上述方法的实现:

C++

// C++ program for implementing the
// Orbit counting theorem
// or Burnside's Lemma

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// Function to find result using
// Orbit counting theorem
// or Burnside's Lemma
void countDistinctWays(int N, int M)
{

    int ans = 0;

    // According to Burnside's Lemma
    // calculate distinct ways for each
    // rotation
    for (int i = 0; i < N; i++) {

        // Find GCD
        int K = __gcd(i, N);
        ans += pow(M, K);
    }

    // Divide By N
    ans /= N;

    // Print the distinct ways
    cout << ans << endl;
}

// Driver Code
int main()
{

    // N stones and M colors
    int N = 4, M = 3;

    // Function call
    countDistinctWays(N, M);

    return 0;
}

Java 语言(一种计算机语言，尤用于创建网站)

// Java program for implementing the
// Orbit counting theorem
// or Burnside's Lemma
class GFG{

static int gcd(int a, int b)
{
    if (a == 0)
        return b;

    return gcd(b % a, a);
}

// Function to find result using
// Orbit counting theorem
// or Burnside's Lemma
static void countDistinctWays(int N, int M)
{
    int ans = 0;

    // According to Burnside's Lemma
    // calculate distinct ways for each
    // rotation
    for(int i = 0; i < N; i++)
    {
        // Find GCD
        int K = gcd(i, N);
        ans += Math.pow(M, K);
    }

    // Divide By N
    ans /= N;

    // Print the distinct ways
    System.out.print(ans);
}

// Driver Code
public static void main(String []args)
{

    // N stones and M colors
    int N = 4, M = 3;

    // Function call
    countDistinctWays(N, M);
}
}

// This code is contributed by rutvik_56

C

// C# program for implementing the
// Orbit counting theorem
// or Burnside's Lemma
using System;
class GFG
{
static int gcd(int a, int b)
{
    if (a == 0)
        return b;       
    return gcd(b % a, a);
}

// Function to find result using
// Orbit counting theorem
// or Burnside's Lemma
static void countDistinctWays(int N, int M)
{
    int ans = 0;

    // According to Burnside's Lemma
    // calculate distinct ways for each
    // rotation
    for(int i = 0; i < N; i++)
    {
        // Find GCD
        int K = gcd(i, N);
        ans += (int)Math.Pow(M, K);
    }

    // Divide By N
    ans /= N;

    // Print the distinct ways
    Console.Write(ans);
}

// Driver Code
public static void Main(string []args)
{

    // N stones and M colors
    int N = 4, M = 3;

    // Function call
    countDistinctWays(N, M);
}
}

// This code is contributed by pratham76

java 描述语言

<script>

// Javascript <script>

// Javascript program for implementing the
// Orbit counting theorem
// or Burnside's Lemma

function gcd(a, b)
{
    if (a == 0)
        return b;

    return gcd(b % a, a);
}

// Function to find result using
// Orbit counting theorem
// or Burnside's Lemma
function countDistinctWays(N, M)
{
    let ans = 0;

    // According to Burnside's Lemma
    // calculate distinct ways for each
    // rotation
    for(let i = 0; i < N; i++)
    {
        // Find GCD
        let K = gcd(i, N);
        ans += Math.pow(M, K);
    }

    // Divide By N
    ans /= N;

    // Prlet the distinct ways
    document.write(ans);
}

// Driver Code

    // N stones and M colors
    let N = 4, M = 3;

    // Function call
    countDistinctWays(N, M);

</script>

Output: 

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