足球上五边形和六边形的数量

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给定一个标准的足球，在上面画出规则的六边形和五边形，如图所示。找出六边形和五边形的数量。

Number of Pentagons and Hexagons on a Football 1

我们可以应用欧拉特征找出一个标准足球上的六边形和五边形的数量。 根据欧拉特征:每个曲面 S 存在一个整数

$\chi(S)$

使得每当具有 V 个顶点和 E 条边的图 G 嵌入到 S 中从而存在 F 个面(由该图划分的区域)时，我们具有:

$ V - E + F = \chi(S)$

对于球体(足球的形状)

$\chi(S)$

= 2. 因此，方程变成 V–E+F = 2。

现在，让五边形的数量 P 和六边形的数量 h。

顶点的数量将是: 每个六边形 6 个顶点，即 6H. 每个五边形 5 个顶点，即 5P. 但是我们已经计算了每个顶点三次，每个相邻多边形一次，如下图 Number of Pentagons and Hexagons on a Football 2 因此，顶点的数量 V = (6H + 5P)/3。

边的数量将是: 每个六边形 6 条边，即每个五边形 6H. 5 条边，即 5P. 但是我们已经计算了每个边两次，每个相邻多边形一次，如下图 Number of Pentagons and Hexagons on a Football 3 因此，边的数量 E = (6H + 5P)/2。

面数将为: 有 H 六边形和 P 五边形，各形成一个面。因此，面的总数，F = (H + P)。

所以，我们可以写道:

$ V - E + F = 2 $ \\ $ \frac{6*H + 5*P}{3} - \frac{6*H + 5*P}{2} + (H + P) = 2$

求解这个方程后，我们将得到 P = 12。所以，有 12 个五角星。 现在六边形的数量: 我们可以看到每个五边形被 5 个六边形包围。所以应该有 5P 个六边形，但是我们已经为每个六边形的 3 个相邻五边形计算了三次。因此，六边形的数量= 5P/3 = 5*12/3 = 20。

因此，一个标准足球中有 20 个六边形和 12 个五边形。

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